Question

已知直線 y=kx+3(k<0)分別交 x軸、y 軸于A、B兩點(diǎn)，線段 OA 上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.  
  (1)當(dāng) k=-1時(shí)，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q 由點(diǎn)A 向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn) P 以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)(如圖 1).    
 ①直接寫出 t=1秒時(shí) C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；  
 ②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB 相似，求t的值.  
  (2)當(dāng)時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線y=+n與直線AB的另一交點(diǎn)為D(如圖 2).   
  ①求CD的長(zhǎng)；
  ②設(shè)△COD的OC邊上的高為 h，當(dāng) t為何值時(shí)h的值最大？

Answer 1

解：(1)①C(1，2)，Q(2，0).    
 ②由題意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）
分兩種情形討論：
情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，
AQC =AOB= 90°，
∴ CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ=OP，即3-t= t，
∴t=1.5；
情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時(shí)，
ACQ=AOB=90°，
∵OA = OB = 3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ是等腰直角三角形，
∵CP⊥OA，
∴AQ= 2CP，即 t = 2(-t +3)，
∴t = 2，
∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒；
(2)①由題意得：C(t，-t+ 3)
∴以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是y= ，
由=-x+3，
解得：；
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則DEC= AOB =90°，DE// OA，
∴EDC=OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴，
∵AO= 4，AB = 5，DE=t-
∴CD=
②∵CD=，CD邊上的高= ，
∴，
∴為定值；要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短
因?yàn)楫?dāng)OC⊥AB時(shí)OC最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為，BCO=90°，
∵AOB=90°，
∴COP=90°-BOC=OBA，
又∵CP⊥OA，
∴
∴，OP=，即t=，
∴當(dāng)t為秒時(shí)，h的值最大。