Question

【題目】在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結(jié)BE．

（感知）如圖①，過點A作AF⊥BE交BC于點F．易證△ABF≌△BCE．（不需要證明）

（探究）如圖②，取BE的中點M，過點M作FG⊥BE交BC于點F，交AD于點G．

（1）求證：BE=FG．

（2）連結(jié)CM，若CM=1，則FG的長為　 　．

（應用）如圖③，取BE的中點M，連結(jié)CM．過點C作CG⊥BE交AD于點G，連結(jié)EG、MG．若CM=3，則四邊形GMCE的面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2，9.

【解析】感知：利用同角的余角相等判斷出∠BAF=∠CBE，即可得出結(jié)論；

探究：（1）判斷出PG=BC，同感知的方法判斷出△PGF≌CBE，即可得出結(jié)論；

（2）利用直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半，

應用：借助感知得出結(jié)論和直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半即可得出結(jié)論．

感知：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠BAF=∠CBE，

在△ABF和△BCE中，

，

∴△ABF≌△BCE（ASA）；

探究：（1）如圖②，

過點G作GP⊥BC于P，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，

∴四邊形ABPG是矩形，

∴PG=AB，∴PG=BC，

同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，

在△PGF和△CBE中，

，

∴△PGF≌△CBE（ASA），

∴BE=FG；

（2）由（1）知，FG=BE，

連接CM，

∵∠BCE=90°，點M是BE的中點，

∴BE=2CM=2，

∴FG=2，

故答案為：2．

應用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，

∴ME=3，

同探究（1）得，CG=BE=6，

∵BE⊥CG，

∴S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9，

故答案為：9．