Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P也同時(shí)停止．點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t＞0)秒．

(1)當(dāng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)(未到達(dá)A點(diǎn))，

①當(dāng)t＝_____時(shí)PQ∥BC

②求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；

(2)伴隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線為l：

①當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，射線QP交AD于點(diǎn)E，求此時(shí)的t的值和AE的長(zhǎng)；

②當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)①秒；②S△APQ＝﹣+t(0＜t≤6)；(2)①t＝3，AE＝6；②t＝5．

【解析】

(1)①因?yàn)?/span>PQ∥BC，利用平行線分線段成比例，可得，找到關(guān)于t的方程，求解即可；②過(guò)P作PE⊥AB于E，利用∠BAC的正弦，可以求出PE的長(zhǎng)，最后找到S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(2)①因?yàn)?/span>l為PQ的垂直平分線且過(guò)點(diǎn)A，所以AP=AQ，由此可以求出t的值，延長(zhǎng)QP交CD于M，容易得到△APQ和△CPM相似，找到相似比可求出AE的長(zhǎng)；②當(dāng)l經(jīng)過(guò)B時(shí)，可得BQ=BP=AP，過(guò)P作PG⊥AB于G，利用三線合一可得AG=BG，利用PG∥BC，可轉(zhuǎn)化出P也為AC的中點(diǎn)，進(jìn)而可求出AP的值，最后可找到t的值.

解：(1)①由題意得：BQ＝AP＝t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵AB＝6，BC＝8，

∴AC＝10，AQ＝6﹣t，

∵PQ∥BC，

∴，

∴，

t＝，

則當(dāng)t＝秒時(shí)，PQ∥BC，

故答案為：秒；

②如圖1，過(guò)P作PE⊥AB于E，

sin∠BAC＝，

∴，PE＝t，

∴S△APQ＝AQPE＝(6﹣t) t＝﹣+t(0＜t≤6)；

(2)①如圖2，延長(zhǎng)CD交QP于M，

∵線段PQ的垂直平分線為l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

∴AQ＝AP，即6﹣t＝t，

∴t＝3，

∴AQ＝AP＝3，CP＝10﹣3＝7，

∵AQ∥CD，

∴△AQP∽△CMP，

∴，

∴ ，CM＝7，

∴DM＝7﹣6＝1，

∵AQ∥DM，

∴△AQE∽△DME，

∴＝，

∵AE+DE＝8，

∴AE＝6；

②如圖3，連接PB，過(guò)P作PG⊥AB于G，則PG∥BC，

∵線段PQ的垂直平分線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

∴PB＝BQ＝t＝AP，

∴AG＝BG，

∴AP＝PC＝AC＝5，

∴t＝5．