Question

【題目】（2017浙江省臺州市）在平面直角坐標系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數根．比如對于方程，操作步驟是：

第一步：根據方程的系數特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）；

第二步：在坐標平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B；

第三步：在移動過程中，當三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C的橫坐標m即為該方程的一個實數根（如圖1）；

第四步：調整三角板直角頂點的位置，當它落在x軸上另一點D處時，點D的橫坐標n即為該方程的另一個實數根．

（1）在圖2中，按照“第四步”的操作方法作出點D（請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡）；

（2）結合圖1，請證明“第三步”操作得到的m就是方程的一個實數根；

（3）上述操作的關鍵是確定兩個固定點的位置，若要以此方法找到一元二次方程 （a≠0，≥0）的實數根，請你直接寫出一對固定點的坐標；

（4）實際上，（3）中的固定點有無數對，一般地，當m1，n1，m2，n2與a，b，c之間滿足怎樣的關系時，點P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一對固定點？

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；（4），=．

【解析】試題（1）根據“第四步”的操作方法作出點D即可；

（2）過點B作BD⊥x軸于點D，根據△AOC∽△CDB，可得，進而得出，即，據此可得m是方程的實數根；

（3）方程（a≠0）可化為，模仿研究小組作法可得一對固定點的坐標；

（4）先設方程的根為x，根據三角形相似可得，進而得到，再根據，可得，最后比較系數可得m1，n1，m2，n2與a，b，c之間的關系．

試題解析：（1）如圖所示，點D即為所求；

（2）如圖所示，過點B作BD⊥x軸于點D，根據∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，∴，∴，∴m（5﹣m）=2，∴，∴m是方程的實數根；

（3）方程（a≠0）可化為，模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；

（4）如圖，P（m1，n1），Q（m2，n2），設方程的根為x，根據三角形相似可得，上式可化為，又∵，即，∴比較系數可得，=．