Question

【題目】如圖，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為軸，OA為軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)D，E分別是線段AC，OC上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒。

（1）求直線AC的解析式；

（2）用含的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，△ODE為直角三角形？

（4）在什么條件下，以Rt△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)能確定一條對(duì)稱軸平行于軸的拋物線？并請(qǐng)選擇一種情況，求出所確定拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，）；（3），，，；（4）

【解析】

（1）在Rt△AOC中，已知AO的長(zhǎng)以及∠ACB的正弦值，能求出OC的長(zhǎng)，即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法能求出直線AC的解析式．

（2）過(guò)D作AO、OC的垂線，通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）用t表示出OD、DE、OE的長(zhǎng)，若△ODE為直角三角形，那么三邊符合勾股定理，據(jù)此列方程求出對(duì)應(yīng)的t的值．

（4）根據(jù)（3）的結(jié)論能得到t的值，△ODE中，當(dāng)OD⊥x軸或DE垂直x軸時(shí)，都不能確定“一條對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線”，余下的情況都是符合要求的，首先得D、E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

（1）根據(jù)題意，得CO=AB=BCtan∠ACB=4，則A（0，3）、B（4，3）、C（4，0）；

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+3，代入C點(diǎn)坐標(biāo)，得：

4k+3=0，k=-，

∴直線AC：；

（2）分別作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分別為F，H，

則有△ADF∽△DCH∽△ACO，

∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，

而AD=（其中0≤≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=，

DH=，HC=，

∴D（，）；

（3）CE=，E（，0），OE=OC-CE=4-，HE=|CH-CE|=，

則OD2=DH2+OH2==，

DE2=DH2+HE2==，

當(dāng)△ODE為Rt△時(shí)，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，

即①，

或②，

或③，

上述三個(gè)方程在0≤≤內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解為

，，，；

（4）當(dāng)DO⊥OE，及DE⊥OE時(shí)，即和時(shí)，以Rt△ODE的三個(gè)頂點(diǎn)不確定對(duì)稱軸平行于軸的拋物線，其它兩種情況都可以各確定一條對(duì)稱軸平行于軸的拋物線D（，），E（4-，0），

當(dāng)時(shí)，D（，），E（3，0），因?yàn)閽佄锞�過(guò)O（0，0），

所以設(shè)所求拋物線為，將點(diǎn)D，E坐標(biāo)代入，求得，，

∴所求拋物線為.

（當(dāng)時(shí)，所求拋物線為）.