Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點P是邊AB上一點，AB=5BP，點E在對角線AC上，△PEF是直角三角形，PE=PF，AE=2，△APF的面積為12，則BF的長是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作EM⊥AB于M，FN⊥AB于N，設(shè)EF交AB于點O．通過證明△PME≌△FNP，可以得到△AFN是等腰直角三角形，利用三角形面積公式求出FN，再求出BN．在Rt△BFN中，利用勾股定理即可解決問題．

如圖，作EM⊥AB于M，FN⊥AB于N，設(shè)EF交AB于點O．

∵∠PME=∠FNP=∠EPF=90°，∴∠FPN+∠EPM=90°，∠NPF+∠PFN=90°，∴∠EPM=∠PFN．

∵PE=PF，∴△PME≌△FNP（AAS），∴PM=FN，EM=PN．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°．

∵ME⊥AB，∴△AME是等腰直角三角形，∴AM=ME，∴AM=PN，∴AM+MN=NP+MN，∴AN=MP．

∵PM=FN，∴AN=FN．

∵AE=2，∴AM=ME=．設(shè)FN=PM=x．

∵S△AFP=12，∴（+x）x=12，∴x=3或﹣4，∴PM=3，∴AP=4．

∵AB=5BP，∴AP=4PB，∴PB=，BN=2，∴BF===．