Question

【題目】已知點(diǎn)P是對角線BD上的一點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，

（1）如圖1，若點(diǎn)P為BD中點(diǎn)，∠BAP=30°，AD=5，CD=8，求AF的長；

（2）如圖2，若點(diǎn)E在CD上，BE=DE，延長DF至G，使DG=AB，點(diǎn)H在BD上，連接AH、GH、EH、FH，若∠G=∠BAH，求證：HE=HF．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）詳見解析.

【解析】分析： 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，有 根據(jù)所對的直角邊等于斜邊的一半得到， 易證≌ 則 在中，用勾股定理即可求出的長.

設(shè)AB與DG的交點(diǎn)為K，連HK,證明△ABH≌△GDH，得到BH=HD, BEDK為平行四邊形，H為BD中點(diǎn)，∠EFK=90°，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到.HF=HE.

詳解： 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，有

易證≌

在中，

（2）設(shè)AB與DG的交點(diǎn)為K，連HK,

證 △ABH≌△GDH（ASA）,

∴BH=HD,

∵BEDK為平行四邊形，H為BD中點(diǎn)，

∴E,H,K共線

又∠EFK=90°，

∴HF=HE.