Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發(fā)，以 cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都停止運動．設(shè)點P運動的時間為ts．
（1）當P異于A、C時，請說明PQ∥BC；
（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2cm，

∴AB=BC=2，∠BAC= ∠DAB，

又∵∠DAB=60°（已知），

∴∠BAC=∠BCA=30°；

如圖1，連接BD交AC于O．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA= AC，

∴OB= AB=1（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），

∴OA= （cm），AC=2OA=2 （cm），

運動ts后， ，

∴

又∵∠PAQ=∠CAB，

∴△PAQ∽△CAB，

∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的對應(yīng)角相等），

∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）

（2）解：如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，則PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM= PC=

由PM=PQ=AQ=t，即 =t

解得t=4 ﹣6，此時⊙P與邊BC有一個公共點；

如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB為等邊三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1

∴ 時，⊙P與邊BC有2個公共點．

如圖4，⊙P過點C，此時PC=PQ，即2 t=t，∴t=3﹣ ．

∴當1＜t≤3﹣ 時，⊙P與邊BC有一個公共點，

當點P運動到點C，即t=2時P與C重合，Q與B重合，也只有一個交點，此時，⊙P與邊BC有一個公共點，

∴當t=4 ﹣6或1＜t≤3﹣ 或t=2時，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；

當4 ﹣6＜t≤1時，⊙P與邊BC有2個公共點．

【解析】（1）連接BD交AC于O，構(gòu)建直角三角形AOB．利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質(zhì)推知△PAQ∽△CAB；然后根據(jù)“相似三角形的對應(yīng)角相等”證得∠APQ=∠ACB；最后根據(jù)平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結(jié)論；（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，構(gòu)建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函數(shù)值求得PM= PC= ，然后根據(jù)PM=PQ=AQ=t列出關(guān)于t的方程，通過解方程即可求得t的值；

如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，根據(jù)等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質(zhì)以及（2）中求得t的值來確定此時t的取值范圍；

如圖4，⊙P過點C，此時PC=PQ，據(jù)此等量關(guān)系列出關(guān)于t的方程，通過解方程求得t的值．

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半，以及對直線與圓的三種位置關(guān)系的理解，了解直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．