Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)、，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）由（1）可知、是關(guān)于的二次方程的兩根，利用韋達(dá)定理可將表示為以為自變量的函數(shù)，換元，可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，由此可得解.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，令.

當(dāng)，即時(shí)，，則對(duì)任意的恒成立，

此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)正根，分別為，，

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)遞減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，

單調(diào)遞減區(qū)間是；

（2）由（1）可知、是關(guān)于的二次方程的兩根，

由韋達(dá)定理可得，，，，，

，，，

，

令，則，設(shè)，

，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

，

因此，的取值范圍是.