Question

設(shè)
(Ⅰ)的圖象關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，的極小值為，求的解析式。
(Ⅱ)若，是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍

Answer 1

(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ)由題意知，函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義可求出，由函數(shù)在處取得極小值為，可得，，進(jìn)而求出在，一般地，多項式函數(shù)為奇函數(shù)，則偶次項系數(shù)為0，連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)在某點處取得極值，則該點處導(dǎo)數(shù)為0，但連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)為0，則該處不一定取得極值，所以用以上方法求出函數(shù)解析式后，還需進(jìn)行驗證；(Ⅱ)函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，所以問題又轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，本題導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，其恒成立問題可用判別式判斷，也可分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題.
試題解析：(Ⅰ)因為的圖象關(guān)于原點對稱，所以有即，       1分
所以，
所以，
所以     3分
由，依題意，，，
解之，得     6分
經(jīng)檢驗符合題意       7分
故所求函數(shù)的解析式為.
(Ⅱ)當(dāng)時，，，
因為是上的單調(diào)函數(shù)，所以恒成立，
即恒成立       8分
即成立，所以     12分