【題目】是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物,也稱為可吸入肺顆粒物.我國標準采用世衛(wèi)組織設定的最寬限值,即日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標,某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2019年上半年每天的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值如下莖葉圖所示(十位為莖,個位為葉).
(1)在這15天的日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中,求其中位數(shù);
(2)從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù),記表示抽到監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;
(3)以這15天的日均值來估計該市下一年的空氣質(zhì)量情況,則一年(按365天計算)中平均有多少天的空氣質(zhì)量達到一級或二級.
【答案】(1)45;(2)分布列見解析,;(3)219.
【解析】
(1)由莖葉圖從小到大找到第8個數(shù),即為中位數(shù);
(2)由于假設記“從15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機抽出2天,超標的有6天,未超標的有9天,服從超幾何分布,求出分別取的概率,列出分分列,求出數(shù)學期望;
(3)先計算一年中每天空氣質(zhì)量達到一級或二級的概率,則一年中空氣質(zhì)量達到一級或二級的天數(shù)為服從二項分布,根據(jù)二項分布的期望公式求出期望.
(1)由莖葉圖可得中位數(shù)是45.
(2)依據(jù)條件,服從超幾何分布:
其中,,,的可能值為,
,,
,
所以的分布列為:
0 | 1 | 2 | |
P |
.
(3)依題意可知,一年中每天空氣質(zhì)量達到一級或二級的概率為,
一年中空氣質(zhì)量達到一級或二級的天數(shù)為,
則,,
∴一年中平均有219天的空氣質(zhì)量達到一級或二級.
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【題目】已知動點到定點的距離比到定直線的距離小1.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點任意作互相垂直的兩條直線,分別交曲線于點和.設線段, 的中點分別為,求證:直線恒過一個定點;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求面積的最小值.
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【題目】已知拋物線:的焦點為,直線:與拋物線交于,兩點.
(1)若,求直線的方程;
(2)過點作直線交拋物線于,兩點,若線段,的中點分別為,,直線與軸的交點為,求點到直線與距離和的最大值.
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【題目】楊輝三角,又稱帕斯卡三角,是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列,在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《評解九章算法》(年)一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律,現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下,從左到右依次排列,得數(shù)列:,,,,,,,,,,,,,,…….記作數(shù)列,若數(shù)列的前項和為,則=( )
A.B.C.D.
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【題目】棱長為1的正方體內(nèi)部有一圓柱,此圓柱恰好以直線為軸.有下列命題:
①圓柱的母線與正方體所有的棱所成的角都相等;
②正方體所有的面與圓柱的底面所成的角都相等;
③在正方體內(nèi)作與圓柱底面平行的截面,則截面的面積;
④圓柱側(cè)面積的最大值為.
其中正確的命題是______.
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【題目】某公司訂購了一批樹苗,為了檢測這批樹苗是否合格,從中隨機抽測100株樹苗的高度,經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖(1)所示的頻率分布直方圖,其中最高的16株樹苗的高度的莖葉圖如圖(2)所示,以這100株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.
(1)求這批樹苗的高度高于米的概率,并求圖(1)中,,的值;
(2)若從這批樹苗中隨機選取3株,記為高度在的樹苗數(shù)量,求的分布列和數(shù)學期望;
(3)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果這批樹苗的高度滿足近似于正態(tài)分布的概率分布,則認為這批樹苗是合格的,將順利被簽收,否則,公司將拒絕簽收.試問:該批樹苗能否被簽收?
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【題目】把方程表示的曲線作為函數(shù)的圖象,則下列結(jié)論正確的是( )
①在R上單調(diào)遞減
②的圖像關于原點對稱
③的圖象上的點到坐標原點的距離的最小值為3
④函數(shù)不存在零點
A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④
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【題目】交通安全法有規(guī)定:機動車行經(jīng)人行橫道時,應當減速行駛;遇行人正在通過人行橫道,應當停車讓行.機動車行經(jīng)沒有交通信號的道路時,遇行人橫過馬路,應當避讓.我們將符合這條規(guī)定的稱為“禮讓斑馬線”,不符合這條規(guī)定的稱為“不禮讓斑馬線”.下表是六安市某十字路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員“不禮讓斑馬線”行為的統(tǒng)計數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“不禮讓斑馬線”的駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 85 | 90 |
(1)根據(jù)表中所給的5個月的數(shù)據(jù),可用線性回歸模型擬合與的關系,請用相關系數(shù)加以說明;
(2)求“不禮讓斑馬線”的駕駛員人數(shù)關于月份之間的線性回歸方程;
(3)若從4,5月份“不禮讓斑馬線”的駕駛員中分別選取4人和2人,再從所選取的6人中任意抽取2人進行交規(guī)調(diào)查,求抽取的2人分別來自兩個月份的概率;
參考公式:線性回歸方程,其中,,.
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【題目】甲、乙、丙三人參加競答游戲,一輪三個題目,每人回答一題為體現(xiàn)公平,制定如下規(guī)則:
①第一輪回答順序為甲、乙、丙;第二輪回答順序為乙、丙、甲;第三輪回答順序為丙,甲、乙;第四輪回答順序為甲、乙、丙;…,后面按此規(guī)律依次向下進行;
②當一人回答不正確時,競答結(jié)束,最后一個回答正確的人勝出.
已知,每次甲回答正確的概率為,乙回答正確的概率為,丙回答正確的概率為,三個人回答每個問題相互獨立.
(1)求一輪中三人全回答正確的概率;
(2)分別求甲在第一輪、第二輪、第三輪勝出的概率;
(3)記為甲在第輪勝出的概率,為乙在第輪勝出的概率,求與,并比較與的大小.
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