Question

【題目】設拋物線，滿足，過點作拋物線的切線，切點分別為.

（1）求證：直線與拋物線相切；

（2）若點坐標為，點在拋物線的準線上，求點的坐標；

（3）設點在直線上運動，直線是否恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2） （3）是，

【解析】

（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由，即可證明；

（2）根據點在拋物線上解得，進而寫出點坐標，再根據點既在直線上，又在拋物線上，聯(lián)立方程組即可求得的坐標；

（3）寫出直線的方程，根據過點和過點的直線交于點得到的結論，整理化簡直線方程，即可求得恒過的定點.

（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，消去

可得

故，因為點在拋物線上，

故

則直線與拋物線只有一個交點

又因為，故該直線不與軸平行，

即證直線與拋物線相切.

（2）因為點在拋物線上，故可得，解得

由（1）可知過點的切線方程為，即

又拋物線的準線方程為，故令，解得，

即點的坐標為.

因為過點的切線方程為，其過點

故可得，又因為點滿足拋物線方程，

故可得，聯(lián)立方程組可得

解得（舍去，與點重合），，

故點的坐標為.

（3）由（1）得過點的切線方程為

令，可解得

過點的切線方程為

令，可解的

因為兩直線交于點，故可得

整理得 ①

當過兩點的直線斜率存在，則設其方程為：

整理得，將①代入可得

故直線方程為

故該直線恒過定點;

當過兩點的直線斜率不存在時，

，代入①可得

過此時直線，也經過點

綜上所述，直線恒過定點，即證.