已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)
(Ⅰ)求F(x)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)F(x)在上的值域;
(Ⅲ)若f(x)=2f′(x),求的值.
(Ⅰ)T=π.單調(diào)遞增區(qū)間:單調(diào)遞減區(qū)間:
(Ⅱ)[1,1+];(Ⅲ)
.
解析試題分析:(I)將函數(shù)F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)化一可得:F(x)=1+sin(2x+
),由此可得F(x)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間.(Ⅱ) 由
得
這樣可得sin(2x+
)的范圍,從而得函數(shù)F(x)的值域.
(Ⅲ)由f(x)=2f′(x),得:sinx+cosx=2cosx-2sinx,由此可得tanx的值.
將化為只含tanx式子,將tanx.的值代入即可.
試題解析:(I)∵f′(x)=cosx-sinx,
∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+sin(2x+
),
最小正周期為T==π.
單調(diào)遞增區(qū)間:單調(diào)遞減區(qū)間:
. 4分
(Ⅱ)由得
所以,所以函數(shù)F(x)的值域?yàn)閇1,1+
]. 8分
(Ⅲ)∵f(x)=2f′(x), ∴sinx+cosx=2cosx-2sinx,
∴cosx=3sinx, ∴tanx=,
∴=
=
=
=
. 13分
考點(diǎn):1、三角變換;2、三角函數(shù)的單調(diào)性和范圍;3、三角函數(shù)同角關(guān)系式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知向量,
,
.
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱軸方程;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是若
,b=1,△ABC的面積為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(
)的最小正周期為
.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)將函數(shù)的圖象向左平移
個(gè)單位,再向上平移
個(gè)單位,得到函數(shù)
的圖象.求
在區(qū)間
上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知向量a=(2cosx,2sinx),b=(cosx,cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=a•b-
,求:
(1)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若, 且α∈(
,π). 求α.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),若
的最大值為1
(Ⅰ)求的值,并求
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在中,角
、
、
的對(duì)邊
、
、
,若
,且
,試判斷三角形的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù) 的圖象過點(diǎn)(0,
),最小正周期為
,且最小值為-1.
(1)求函數(shù)的解析式.
(2)若 ,
的值域是
,求m的取值范圍.
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