【題目】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓，離心率，且橢圓過點.

(1)求橢圓的方程；

(2)設橢圓左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于不同的兩點，則的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）， .

【解析】試題分析：（1）本問主要考查待定系數(shù)法求橢圓標準方程，首先設橢圓方程為，然后根據(jù)條件列方程組，求解后即得到橢圓標準方程；（2）本問主要考查直線與橢圓的綜合問題，分析可知，內切圓面積最大時即為內切圓半徑最大， 的面積可以表示為，由橢圓定義可知的周長為定值，這樣的面積轉化為，然后再根據(jù)直線與橢圓的位置關系， 的面積表示為，這樣可以聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去未知數(shù)，得到關于的一元二次方程，根據(jù)韋達定理，表示出，最后轉化為關于的函數(shù)，即可求出最值.

試題解析：（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為．

則，

解得： 橢圓方程為，

（Ⅱ）設，不妨，設的內切圓的半徑，

則的周長為因此最大，

就最大，

由題知，直線 的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

得 .

則，

令，可知，則 ，

令，則，當時， ， 在上單調遞增，有，

即當時， ，這時所求內切圓面積的最大值為．

故直線內切圓面積的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一次猜獎游戲中，1，2，3，4四扇門里擺放了， ， ， 四件獎品（每扇門里僅放一件）.甲同學說：1號門里是，3號門里是；乙同學說：2號門里是，3號門里是；丙同學說：4號門里是，2號門里是；丁同學說：4號門里是，3號門里是.如果他們每人都猜對了一半，那么4號門里是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當時，若存在實數(shù)使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域為，部分對應值如下表，又知的導函數(shù)的圖象如下圖所示：

0

4

5

1

2

2

1

則下列關于的命題：

①函數(shù)的極大值點為2；

②函數(shù)在上是減函數(shù)；

③如果當時， 的最大值是2，那么的最大值為4；

④當，函數(shù)有4個零點.

其中正確命題的序號是__________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若是圓與軸正半軸的交點，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，設過點的圓的切線為.

（1）求直線的極坐標方程；

（2）求圓上到直線的距離最大的點的直角坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (為實常數(shù)).

(1)若， ，求的單調區(qū)間；

(2)若，且，求函數(shù)在上的最小值及相應的值；

(3)設，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2015年12月，京津冀等地數(shù)城市指數(shù)“爆表”，北方此輪污染為2015年以來最嚴重的污染過程，為了探究車流量與的濃度是否相關，現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如表：

時間

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期七

車流量（萬輛）

1

2

3

4

5

6

7

的濃度（微克/立方米）

28

30

35

41

49

56

62

（1）由散點圖知與具有線性相關關系，求關于的線性回歸方程；

的濃度；

（ii）規(guī)定：當一天內的濃度平均值在內，空氣質量等級為優(yōu)；當一天內的濃度平均值在內，空氣質量等級為良，為使該市某日空氣質量為優(yōu)或者為良，則應控制當天車流量在多少萬輛以內？（結果以萬輛為單位，保留整數(shù)）

參考公式：回歸直線的方程是，其中， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若的兩個根分別為，且滿足，求的值；

（2）當時，討論的單調性.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）如果不等式 在區(qū)間上恒成立，求的最大值.

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