Question

【題目】已知為等差數列，各項為正的等比數列的前n項和為， ，且，，.在①；②；③這三個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答（如果選擇多個條件解答，則按選擇第一個解答計分）.

（1）求數列和的通項公式；

（2）求數列的前項和

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）分別選擇條件①②③，結合等差、等比數列的通項公式，以及和的關系，即可求得數列和的通項公式；

（2）由（1）求得，結合等差、等比數列的前項和公式，利用錯位相減，即可求解.

（1）若選①：，設等差數列的公差為，

由，，可得，解得，

所以，

又由，

當時，由，則有，即，

當時，，整理得，即，

所以是以2為首項，2為公比的等比數列，

所以.

（2）由（1）知，則，

所以

，

所以.

（1）若選②：，設等差數列的公差為d，

由，，可得，解得，

所以，所以，

設等比數列的公比為，

因為，

所以，

又因為，所以，解得或（舍去），

所以.

（2）由（1）知，則，

所以

，

所以.

（1）若選③：，設等差數列的公差為，

由，，可得，解得，

所以，

因為，，

當，得，即，解得，所以.

（2）由（1）知，則，

所以

，

所以.