Question

【題目】某市為了制定合理的節(jié)電方案，供電局對(duì)居民用電進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了某年200戶(hù)居民每戶(hù)的月均用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中m的值并估計(jì)居民月均用電量的中位數(shù)；
（Ⅱ）從樣本里月均用電量不低于700度的用戶(hù)中隨機(jī)抽取4戶(hù)，用X表示月均用電量不低于800度的用戶(hù)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）1﹣100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）=2m×100，∴m=0.0015．
設(shè)中位數(shù)是x度，前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，
而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，
所以400＜x＜500， ，
故x=408，即居民月均用電量的中位數(shù)為408度．
（Ⅱ）200戶(hù)居民月均用電量在[700，800）度的戶(hù)數(shù)是8，月均用電量在[800，900]度的戶(hù)數(shù)是4．
故隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3，4，且 ， ， ， ， ，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

故 ．
【解析】（Ⅰ）利用小矩形的面積之和為1求解，（Ⅱ）200戶(hù)居民月均用電量在[700，800）度的戶(hù)數(shù)是8，月均用電量在[800，900]度的戶(hù)數(shù)是4．故隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息，以及對(duì)離散型隨機(jī)變量及其分布列的理解，了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．