Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，且各棱長(zhǎng)均相等， 分別為棱的中點(diǎn).

（1）證明平面；

（2）證明平面平面；

（3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】試題分析：（1）連接，根據(jù)平幾知識(shí)得四邊形為平行四邊形，即得，根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理得結(jié)論（2）先根據(jù)正三角形性質(zhì)得，再根據(jù)線(xiàn)面垂直條件得，可得平面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論（3）過(guò)點(diǎn)作，則根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面.即為直線(xiàn)與平面所成的角.最后通過(guò)解三角形得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）證明：如圖，在三棱柱中， ，且，連接，在中，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，

所以且，

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，可得，且，即四邊形為平行四邊形，所以.

又平面， 平面，所以平面.

（2）證明：由于底面是正三角形， 為的中點(diǎn)，故，

又由于側(cè)棱底面， 平面，所以，

又，因此平面，而平面，

所以平面平面.

（3）解：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接

由于平面平面，而直線(xiàn)是平面與平面的交線(xiàn)，故平面.由此得為直線(xiàn)與平面所成的角.

設(shè)棱長(zhǎng)為，可得，由，易得.

在中， .所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.