【題目】已知直線是曲線的切線.

（1）求函數(shù)的解析式，

（2）若，證明:對于任意，有且僅有一個零點.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)求導，并設切點，利用點既在曲線上、又在切線上，列出方程組，解得，即可得答案；

（2）當x充分小時，當x充分大時，可得至少有一個零點. 再證明零點的唯一性，即對函數(shù)求導得，對分和兩種情況討論，即可得答案.

（1）根據(jù)題意，，設直線與曲線相切于點.

根據(jù)題意，可得，解之得，

所以.

（2）由（1）可知，

則當x充分小時，當x充分大時，∴至少有一個零點.

∵，

①若，則，在上單調(diào)遞增，∴有唯一零點.

②若令，得有兩個極值點，

∵，∴，∴.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴極大值為.，又，

∴在(0，16)上單調(diào)遞增，

∴，

∴有唯一零點.

綜上可知，對于任意，有且僅有一個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司欲對員工飲食習慣進行一次調(diào)查，從某科室的100人中的飲食結(jié)構(gòu)調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下表.

主食蔬菜

主食肉類

總計

不超過45歲

15

40

45歲以上

20

總計

（1）完成列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為員工的飲食習慣與年齡有關？

（2）在45歲以上員工中按照飲食習慣進行分層抽樣抽出一個容量為6的樣本，從這6個人中隨機抽取3個人，求這3個人都主食蔬菜的概率.

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設命題p：實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命題q：實數(shù)x滿足x2﹣5x+6＜0．

（1）若a＝1，且p∧q為真命題，求實數(shù)x的取值范圍；

（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某同學用“隨機模擬方法”計算曲線與直線所圍成的曲邊三角形的面積時，用計算機分別產(chǎn)生了10個在區(qū)間[1，e]上的均勻隨機數(shù)xi和10個在區(qū)間[0，1]上的均勻隨機數(shù)，其數(shù)據(jù)如下表的前兩行．

x

2.50

1.01

1.90

1.22

2.52

2.17

1.89

1.96

1.36

2.22

y

0.84

0.25

0.98

0.15

0.01

0.60

0.59

0.88

0.84

0.10

lnx

0.90

0.01

0.64

0.20

0.92

0.77

0.64

0.67

0.31

0.80

由此可得這個曲邊三角形面積的一個近似值為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）

①當時，函數(shù)的圖象的對稱中心為；

②當時，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；

③若函數(shù)在上不單調(diào)，則；

④當時，在上的最大值為15．

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)，直線l：y=kx（k＞0），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．

（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；

（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|OA||OB|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，橢圓上短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為；

（1）求橢圓的方程；

（2）過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點（點在第二象限），是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，若，求證：直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知多面體的底面是邊長為的菱形， 底面， ，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一批用于手電筒的電池，每節(jié)電池的壽命服從正態(tài)分布（壽命單位：小時）.考慮到生產(chǎn)成本，電池使用壽命在內(nèi)是合格產(chǎn)品.

（1）求一節(jié)電池是合格產(chǎn)品的概率（結(jié)果四舍五入，保留一位小數(shù)）；

（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)結(jié)果，若質(zhì)檢部門檢查4節(jié)電池，記抽查電池合格的數(shù)量為，求隨機變量的分布列、數(shù)學期望及方差.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

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