Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當，時，求滿足的的值；

（2）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).

①存在，使得不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；

②若函數(shù)滿足，若對任意且，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2)①;②.

【解析】分析：（1）把，代入，求解即可得答案.

（2）①函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，代入原函數(shù)求解得的值，判斷函數(shù)為單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性可得的取值范圍.

②由，求得函數(shù)，代入，化簡后得恒成立，令，，參數(shù)分離得在時恒成立，由基本不等即可求得的最大值.

詳解：解：（1）因為，，所以，

化簡得，解得（舍）或，

所以.

（2）因為是奇函數(shù)，所以，所以，

化簡變形得：，

要使上式對任意的成立，則且，

解得：或，因為的定義域是，所以舍去，

所以，，所以.

①

對任意，，有：，

因為，所以，所以，

因此在上遞增，

因為，所以，

即在時有解，

當時，，所以.

②因為，所以，

所以，

不等式恒成立，即，

令，，則在時恒成立，

因為，由基本不等式可得：，當且僅當時，等號成立，

所以，則實數(shù)的最大值為.

奇偶性	單調(diào)性	轉(zhuǎn)化不等式
奇函數(shù)	區(qū)間上單調(diào)遞增
	區(qū)間上單調(diào)遞減
偶函數(shù)	對稱區(qū)間上左減右增
	對稱區(qū)間上左增右減