Question

（本題滿分15分）
已知點(diǎn)，是拋物線上相異兩點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)直線的方程．

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：方法一：
解：（I）當(dāng)垂直于軸時(shí)，顯然不符合題意，
所以可設(shè)直線的方程為，代入方程得：

∴                         ………………………………2分
得：              
∴直線的方程為                  
∵中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為    …………………………4分       
∴的中垂線方程為 
∵的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，故，得       ………………………6分
∴直線的方程為                       ………………………7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 …………8分
因?yàn)橹本€的方程為
∴到直線的距離      …………………10分
由得，

            …………………………12分
∴,  設(shè),則，
，，由，得
即時(shí)
此時(shí)直線的方程為                         ……………15分
（本題若運(yùn)用基本不等式解決，也同樣給分）
法二：
（1）根據(jù)題意設(shè)的中點(diǎn)為，則      ………………2分
由、兩點(diǎn)得中垂線的斜率為，              ………………4分
由，得                          ………………6分
∴直線的方程為                       ………………7分
（2）由（1）知直線