Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)(為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)求證:

Answer 1

【答案】(1)

(2)證明見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)后得出,由題參變分離再構(gòu)造函數(shù)求構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性與取值范圍即可.

(2)利用極值點(diǎn)表示出與的關(guān)系,再將中的代換,構(gòu)造函數(shù)再換元證明不等式即可.

(1)由,得,

由題意知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.

即方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.

即方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.

設(shè),則

在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

作出函數(shù)圖象知當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn),綜上所述,.

(2)因?yàn)?/span>是的兩個(gè)極值點(diǎn),,

,

故要證,即證,即證,即證

不妨設(shè),即證,即證

設(shè),則,

易證,所以在上遞減.,

得證.綜上所述:成立,