Question

下列命題：①若區(qū)間D內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都有f（x+1）＞f（x），則y=f（x）在D上是增函數(shù)；②y=-

1

x

在定義域內(nèi)是增函數(shù)；③函數(shù)f(x)=

1-x2

|x+1|-1

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④如果關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正數(shù)解僅有一個(gè)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0；  其中正確的序號(hào)是

③

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，我們可以判斷①的真假；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們可以判斷②的真假；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及圖象特征，可以判斷③的真假；根據(jù)方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，我們判斷出關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，正數(shù)解僅有一個(gè)時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，即可判斷④的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：①若區(qū)間D內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都有f（x+1）＞f（x），但不一定滿(mǎn)足增函數(shù)的定義，則y=f（x）在D上是增函數(shù)錯(cuò)誤；
②y=-

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上均為增函數(shù)，但在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
③∵函數(shù)f(x)=

1-x2

|x+1|-1

為奇函數(shù)，∴函數(shù)f(x)=

1-x2

|x+1|-1

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故③正確；
④將方程ax2+

1

x

=3x改寫(xiě)為

1

x

=3x-ax2，令 y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“關(guān)于實(shí)數(shù)x的方ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個(gè)正數(shù)解”等價(jià)于“雙曲線(xiàn)y1=

1

x

與y₂=3x-ax²的圖象在y軸右側(cè)只有一個(gè)交點(diǎn)”．
雙曲線(xiàn)y1=

1

x

在第一、三象限內(nèi)．
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)y₂=3x-ax²的開(kāi)口向下且過(guò)原點(diǎn)（0，0）及x軸正半軸上的點(diǎn) （3a，0），研究知，當(dāng)a＜2時(shí)，雙曲線(xiàn)y1=

1

x

與拋物線(xiàn)y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a＞2時(shí)，兩曲線(xiàn)在第一象限無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)a=2進(jìn)，兩曲線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)，故a=2符合題意．
當(dāng)a=0時(shí)，y₂=3x-ax²為直線(xiàn)，此時(shí)，雙曲線(xiàn)y1=

1

x

與直線(xiàn)y₂=3x在第一象限內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，故a=0符合題意．
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)y₂=3x-ax²的開(kāi)口向上且過(guò)原點(diǎn)（0，0）及x軸負(fù)半軸上的點(diǎn) （3a，0），此時(shí)，雙曲線(xiàn) y1=

1

x

與拋物線(xiàn)y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)僅有一個(gè)交點(diǎn)，故a＜0符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]∪{2}．，故④錯(cuò)誤；
故答案為：③

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，方根根的個(gè)數(shù)及判斷，對(duì)稱(chēng)圖形，函數(shù)單調(diào)性的定義及判斷，熟練掌握函數(shù)圖象及性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．