已知函數(shù)的反函數(shù)為
,設(shè)
的圖象上在點
處的切線在y軸上的截距為
,數(shù)列{
}滿足:
(Ⅰ)求數(shù)列{}的通項公式;
(Ⅱ)在數(shù)列中,僅
最小,求
的取值范圍;
(Ⅲ)令函數(shù)數(shù)列
滿足
,求證:對一切n≥2的正整數(shù)都有
(Ⅰ);(Ⅱ)
的取值范圍為
;(Ⅲ)詳見解析
解析試題分析:(Ⅰ)將函數(shù)的反函數(shù)求出來,可得
,
再由得
是以2為首項,l為公差的等差數(shù)列,由此可得數(shù)列{
}的通項公式
(Ⅱ)求出函數(shù)的反函數(shù)在點
處的切線的截距即得
將,
的通項公式代入
得:
這是一個二次函數(shù),但n只取正整數(shù),畫出圖象可以看出當對稱軸介于與
之間的時候,就僅有
最小,
,解這個不等式即可得
的取值范圍
(Ⅲ)由題設(shè)可得:結(jié)合待證不等式可看出,可將這個等式兩邊取倒數(shù),這樣可得:
,從而
又遞推公式可知,各項為正,所以
試題解析:(Ⅰ)
∴函數(shù)的反函數(shù)
則得
是以2為首項,l為公差的等差數(shù)列,故
(3分)
(Ⅱ)
在點
處的切線方程為
令
, 得
(6分)
依題意,僅當時取得最小值,
,解之
∴的取值范圍為
(8分)
(Ⅲ)故
又故
,
又
故 (14分)
考點:1、數(shù)列與不等式;2、函數(shù)的反函數(shù);3、利用導(dǎo)數(shù)求切線
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中實數(shù)a為常數(shù).
(I)當a=-l時,確定的單調(diào)區(qū)間:
(II)若f(x)在區(qū)間(e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值為-3,求a的值;
(Ⅲ)當a=-1時,證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)的圖象在
上連續(xù),定義:
,
.其中,
表示函數(shù)
在
上的最小值,
表示函數(shù)
在
上的最大值.若存在最小正整數(shù)
,使得
對任意的
成立,則稱函數(shù)
為
上的“
階收縮函數(shù)”.
(Ⅰ)若,試寫出
,
的表達式;
(Ⅱ)已知函數(shù),試判斷
是否為
上的“
階收縮函數(shù)”.如果是,求出對應(yīng)的
;如果不是,請說明理由;
(Ⅲ)已知,函數(shù)
是
上的2階收縮函數(shù),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進一批商品,若該商品零售價定為元,則銷售量
(單位:件)與零售價
(單位:元)有如下關(guān)系:
,問該商品零售價定為多少元時毛利潤
最大,并求出最大毛利潤.(毛利潤
銷售收入
進貨支出)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)若在
上恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(III)過點作函數(shù)
圖像的切線,求切線方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)在
處的切線與
軸平行.
(1)求的值和函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)的圖象與拋物線
恰有三個不同交點,求
的取值范圍.
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