Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，PC與底面ABCD所成的角的正切值為

2

2

，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求二面角E-AC-D的大�。�
（2）在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為

2 5

5

．若存在，確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：解法一（幾何法）（1）由已知可得BC⊥AB，又BC⊥PB由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，則BC⊥PA．同理CD⊥PA，再中線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABCD．∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角，設(shè)M為AD中點(diǎn)，連接EM，又E為PD中點(diǎn)，可得EM∥PA，從而EM⊥底面ABCD．過 M作AC的垂線MN，垂足為N，連接EN．則∠ENM為二面角E-AC-D的平面角，解Rt△EMN可得二面角E-AC-D的大小．
（2）若點(diǎn)E到平面PAF的距離為

2 5

5

，則點(diǎn)D到平面PAF的距離為

4 5

5

．過 D作AF的垂線DG，垂足為G，可得DG為點(diǎn)D到平面PAF的距離設(shè)BF=x，由△ABF∽△DGA求出x的值，進(jìn)而得到結(jié)論．
解法二（向量法）（1）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出平面AEC的一個法向量，和平面ACD的一個法向量，代入向量夾角公式，可得二面角E-AC-D的大小．
（2）設(shè)F（2，t，0）（0≤t≤2），求出平面PAF的一個法向量，代入點(diǎn)E到平面PAF的距離d=

| AE • n |

| n |

，構(gòu)造方程求出t值，可得結(jié)論．

解答：解法一：（1）∵底面ABCD為正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，AB∩PB=B
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理可證CD⊥PA，由BC∩CD=C
∴PA⊥平面ABCD．
∴∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角，
∴PA=2                …（2分）
設(shè)M為AD中點(diǎn)，連接EM，又E為PD中點(diǎn)，可得EM∥PA，
從而EM⊥底面ABCD．過 M作AC的垂線MN，垂足為N，連接EN．
由三垂線定理有EN⊥AC，∴∠ENM為二面角E-AC-D的平面角．…（4分）
在Rt△EMN中，可求得EM=1，MN=

2

2

∴tan∠ENM=

EM

MN

=

2

．
∴二面角E-AC-D的大小為arctan

2

．                          …（6分）
（2）由E為PD中點(diǎn)可知，要使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為

2 5

5

，即要點(diǎn)D到平面PAF的距離為

4 5

5

．
過 D作AF的垂線DG，垂足為G，
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAF⊥平面ABCD，∴DG⊥平面PAF，
即DG為點(diǎn)D到平面PAF的距離．…9分
∴DG=

4 5

5

，∴AG=

2 5

5

． 設(shè)BF=x，由△ABF∽△DGA可得AB：BF=DG：GA，∴2：x=2：1，即x=1．∴在線段BC上存在點(diǎn)F，且F為BC中點(diǎn)，使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為

2 5

5

．                                              …（12分）
解法二：（1）∵底面ABCD為正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．同理可證CD⊥PA，∴PA⊥平面ABCD．
∴∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角，
∴PA=2  …（2分）
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），E（0，1，1）
設(shè)

m

=（x，y，z）為平面AEC的一個法向量，則

m

⊥

AE

，

m

⊥

AC

．
又

AE

=（0，1，1），

AC

=（2，2，0），
∴

y+z=0 2x+2y=0

  令x=1則

m

=（1，-1，1）…（4分）
又

AP

=（0，0，2）是平面ACD的一個法向量，
設(shè)二面角E-AC-D的大小為 θ，
則cosθ=cos＜

m

，

AP

＞=

m • AP

| m |•| AP |

=

3

3

．
∴二面角E-AC-D的大小為arccos

3

3

．（6分）
（2）解：設(shè)F（2，t，0）（0≤t≤2），

n

=（a，b，c）為平面PAF的一個法向量，
則

n

⊥

AP

，

n

⊥

AF

．又

AP

=（0，0，2），

AF

=（2，t，0）
∴

2c=0 2a+tb=0

 令a=t則b=-2，c=0得

n

=（t，-2，0）．             …（9分）
又

AE

=（0，1，1），∴點(diǎn)E到平面PAF的距離d=

| AE • n |

| n |

=

2

t2+4

，
∴

2

t2+4

=

2 5

5

，解得t=1，即F（2，1，0），∴在線段BC上存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)E到平面PAF的距離為

2 5

5

，且F為BC中點(diǎn)                           …（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，點(diǎn)到平面的距離，其中解法一的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直，面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，解法二的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．