Question

過(guò)點(diǎn)A（0，a）作直線交圓M：（x-2）²+y²=1于點(diǎn)B、C，
（理）在BC上取一點(diǎn)P，使P點(diǎn)滿足：，
（文）在線段BC取一點(diǎn)P，使點(diǎn)B、P、C的橫坐標(biāo)的倒數(shù)成等差數(shù)列
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若（1）的軌跡交圓M于點(diǎn)R、S，求△MRS面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（理）令P（x，y），因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224643937541782/SYS201311012246439375417020_DA/0.png">，可得x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x），由，可求①
設(shè)過(guò)A所作的直線方程為y=kx+a，（顯然k存在）聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合方程的跟與系數(shù)關(guān)系結(jié)合①，得，，消去k可求
（文）令P（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)B、P、C的橫坐標(biāo)的倒數(shù)成等差數(shù)列
所以 （以下同理）
（2）上述軌跡過(guò)為定點(diǎn)（）的直線在圓M內(nèi)部分，由得（a²+4）y²-2ay-3=0，利用弦長(zhǎng)公式可求
代入三角形面積公式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求
解答：解：（1）（理）令P（x，y），因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224643937541782/SYS201311012246439375417020_DA/11.png">，
所以x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x）
∴，
∴①
設(shè)過(guò)A所作的直線方程為y=kx+a，（顯然k存在）
又由得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0
∴
代入①，得，
∴
消去k，得所求軌跡為2x-ay-3=0，（在圓M內(nèi)部）
（文）令P（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)B、P、C的橫坐標(biāo)的倒數(shù)成等差數(shù)列
所以  （以下同理）
（2）上述軌跡過(guò)為定點(diǎn)（）的直線在圓M內(nèi)部分
，由得（a²+4）y²-2ay-3=0
則
∴
令t=a²+3，則t≥3，而函數(shù)在t≥3時(shí)遞增，
∴．
∴，此時(shí)t=3，a=0，
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)的軌跡方程的求解，解答本題要求考生具備一定的邏輯推理的能力及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的綜合能力