Question

【題目】已知過(guò)拋物線(xiàn)E：x2=2py（p＞0）焦點(diǎn)F且傾斜角的60°直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)E交于點(diǎn)M，N，△OMN的面積為4．
（1）求拋物線(xiàn)E的方程；
（2）設(shè)P是直線(xiàn)y=﹣2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作拋物線(xiàn)E的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)OP、y軸的交點(diǎn)分別為Q、R，點(diǎn)C、D是以R為圓心、RQ為半徑的圓上任意兩點(diǎn)，求∠CPD最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意， ，所以直線(xiàn)l的方程為 ；

由 得： ，

法一：所以 ，

O到MN的距離 ，

∴p=2，拋物線(xiàn)方程為x2=4y；

法二： ， ，故拋物線(xiàn)方程為x2=4y．

（2）解：設(shè) ，由x2=4y得 ，

則切線(xiàn)PA方程為 即 ，

同理，切線(xiàn)PB方程為 ，

把P代入可得 ，故直線(xiàn)AB的方程為 即tx﹣2y+4=0，

∴R（0，2）由 得 ，

∴ ，

當(dāng)PC，PD與圓R相切時(shí)角∠CPD最大，

此時(shí) ，等號(hào)當(dāng) 時(shí)成立，

∴當(dāng) 時(shí)，所求的角∠CPD最大．

綜上，當(dāng)∠CPD最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．

法二：同解法一，得AB：tx﹣2y+4=0，注意到OP⊥AB，

∴ ，

∴

當(dāng)且僅當(dāng)t2+8即 時(shí)等號(hào)成立．

【解析】（1）利用點(diǎn)斜法寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程為 ；結(jié)合△OMN的幾何意義和三角形的面積求法求得p的值即可；（2）設(shè) ，由x2=4y得 ，易得切線(xiàn)PA、PB的直線(xiàn)方程，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得到直線(xiàn)AB的方程tx﹣2y+4=0，由R的坐標(biāo)和圓半徑的計(jì)算方法求得半徑的長(zhǎng)度，則當(dāng)PC，PD與圓R相切時(shí)角∠CPD最大，所以利用銳角三角函數(shù)的定義和不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行解答即可．