Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為菱形，底面，點是上的一個動點，，.

（1）當時，求證：；

（2）當平面時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

(1)由已知可得PA可證平面，所以，可證平面，從而得到證明；（2）連接交于，當平面時，，以為原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.求平面和平面PBD的法向量，利用兩個法向量的數量積計算即可得結果.

（1）因為底面，平面，

所以

又為菱形，連接交于，所以.

又因為，平面，平面，

所以平面

又因為平面，所以，又因為

，平面，

平面，所以平面，又因為平面

所以.

（2）法一：因為平面，平面，

平面平面，

從而，

平面，又因為.以為原點，

分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.

設，，，，

設平面的法向量為

因為，，

由，，得，

令，則，.

設平面的法向量為，因為平面，

可設，

設二面角的平面角為，由圖可知為銳角，從而

法二：因為在平面中，在平面中，，

從而為二面角的平面角，