【題目】已知是圓
:
上任意一點,
,線段
的垂直平分線與半徑
交于點
,當(dāng)點
在圓
上運動時,記點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)記曲線與
軸交于
兩點,
是直線
上任意一點,直線
,
與曲線
的另一個交點分別為
,求證:直線
過定點
.
【答案】(1) ;(2)見解析
【解析】
(1)由已知,利用橢圓的定義計算即可;
(2)設(shè)點,直線
的方程為:
,與
聯(lián)立得:
,設(shè)點
,則
,
;設(shè)點
同理得
,
;由
即可得出結(jié)論.
(1)由線段的垂直平分線與半徑
交于點
,得
,
所以點的軌跡為以
焦點,長軸長為
的橢圓, 故
,
,
曲線的方程為
(2)由(1)得 ,設(shè)點
的坐標(biāo)為
,直線
的方程為:
,
將與
聯(lián)立整理得:
,
設(shè)點的坐標(biāo)為
,則
,故
,則
,
直線的方程為:
,將
與
聯(lián)立整理得:
,
設(shè)點的坐標(biāo)為
,則
,故
,則
,
的斜率為
的斜率為
因為 ,所以直線
經(jīng)過定點
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電視臺舉行文藝比賽,并通過網(wǎng)絡(luò)對比賽進行直播.比賽現(xiàn)場有5名專家評委給每位參賽選手評分,場外觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評分.每位選手的最終得分由專家評分和觀眾評分確定.某選手參與比賽后,現(xiàn)場專家評分情況如表;場外有數(shù)萬名觀眾參與評分,將評分按照[7,8),[8,9),[9,10]分組,繪成頻率分布直方圖如圖:
專家 | A | B | C | D | E |
評分 | 9.6 | 9.5 | 9.6 | 8.9 | 9.7 |
(1)求a的值,并用頻率估計概率,估計某場外觀眾評分不小于9的概率;
(2)從5名專家中隨機選取3人,X表示評分不小于9分的人數(shù);從場外觀眾中隨機選取3人,用頻率估計概率,Y表示評分不小于9分的人數(shù);試求E(X)與E(Y)的值;
(3)考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分:方案一:用所有專家與觀眾的評分的平均數(shù)作為該選手的最終得分,方案二:分別計算專家評分的平均數(shù)
和觀眾評分的平均數(shù)
,用
作為該選手最終得分.請直接寫出
與
的大小關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右頂點為
,上頂點為
,右焦點為
.連接
并延長與橢圓
相交于點
,且
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點的直線
與橢圓
相交于不同的兩點
,直線
分別與直線
相交于點
,點
.若
的面積是
的面積的2倍,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知空間幾何體中,
與
均為邊長為
的等邊三角形,
為腰長為
的等腰三角形,平面
平面
,平面
平面
.
(1)試在平面內(nèi)作一條直線,使直線上任意一點
與
的連線
均與平面
平行,并給出詳細證明;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為F,直線l過點
.
(1)若點F到直線l的距離為,求直線l的斜率;
(2)設(shè)A,B為拋物線上兩點,且AB不與x軸垂直,若線段AB的垂直平分線恰過點M,求證:線段AB中點的橫坐標(biāo)為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是圓
:
上任意一點,
,線段
的垂直平分線與半徑
交于點
,當(dāng)點
在圓
上運動時,記點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)記曲線與
軸交于
兩點,
是直線
上任意一點,直線
,
與曲線
的另一個交點分別為
,求證:直線
過定點
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點在雙曲線
(
,
)上,且雙曲線的一條漸近線的方程是
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過點且斜率為
的直線
與雙曲線
有兩個不同的交點,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線
交于
兩個不同的點,若以線段
為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,求實數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在
時取得極值,求實數(shù)
的值;
(Ⅱ)當(dāng)時,求
零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面
是邊長為2的正方形,
底面
,四棱錐
的體積
,M是
的中點.
(1)求異面直線與
所成角的余弦值;
(2)求點B到平面的距離.
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