【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，公差，若，，成等比數(shù)列，；數(shù)列滿足：對(duì)于任意的，等式都成立.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）若數(shù)列滿足，試問(wèn)是否存在正整數(shù)，（其中），使，，成等比數(shù)列.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在

【解析】

（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）根據(jù)遞推關(guān)系式進(jìn)行作差變形，求得，由此證得數(shù)列是等比數(shù)列.

（3）根據(jù)，，成等比數(shù)列，則，，成等差數(shù)列，由（2）求得，由此求得，，根據(jù)單調(diào)遞減，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的值.

（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題設(shè)得.

即，解得.

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.

（2）∵

∴，①

∴，②

由得，③

∴，④

由得，由①知，，∴.

又，∴數(shù)列是等比數(shù)列.

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，（其中），使，，成等比數(shù)列，則，，成等差數(shù)列.

由（2）可知：，∴.

于是，.

由于，所以

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，不符合條件，

所以或，

又，所以，所以

當(dāng)時(shí)，得，無(wú)解，

當(dāng)時(shí)，得，所以，

綜上：存在唯一正整數(shù)數(shù)組，使，，成等比數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知命題表示雙曲線，命題表示橢圓．

⑴若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

⑵判斷命題為真命題是命題為真命題的什么條件（請(qǐng)用簡(jiǎn)要過(guò)程說(shuō)明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和 “既不充分也不必要條件”中的哪一個(gè)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC， ，求二面角A-PB-C的余弦值.

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【題目】某班隨機(jī)抽查了名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，分?jǐn)?shù)制成如圖的莖葉圖，其中組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不足個(gè)小時(shí)，組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到一個(gè)小時(shí)，學(xué)校規(guī)定分及分以上記為優(yōu)秀，分及分以上記為達(dá)標(biāo)，分以下記為未達(dá)標(biāo).

（1）根據(jù)莖葉圖完成下面的列聯(lián)表：

達(dá)標(biāo)

未達(dá)標(biāo)

總計(jì)

組

組

總計(jì)

（2）判斷是否有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)與否”與“每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間能否達(dá)到一小時(shí)”有關(guān).

參考公式與臨界值表：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，第四日行二十四，幾朝才得到其關(guān)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，其中第四天走了24里.”問(wèn)此人（ ）天后到達(dá)目的地.

A.4B.5C.6D.8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知命題，；命題關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.

（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示,三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面,C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個(gè)點(diǎn)。

(1)若圓柱的軸截面是正方形,當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí),求異面直線與AB的所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；

(2)當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí),求四棱錐體積與圓柱體積的比.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)設(shè)為.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，試用表示；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若的極值點(diǎn)恰為的零點(diǎn)，試求，這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和的取值范圍.

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