Question

【題目】設(shè)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則記所有滿足條件的區(qū)間的并集為，設(shè)，問是否存在實數(shù)，使得集合恰含有個元素？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用求得當(dāng)時的表達式，由此求得的解析式.

（2）判斷出函數(shù)在時的單調(diào)性，由此得到，由求解得的值.

（3）利用，求得集合，利用分段函數(shù)的解析式，結(jié)合分離常數(shù)法，求得的取值范圍.

（1）令則，由于函數(shù)為奇函數(shù)，故.所以函數(shù)的解析式為.

（2）依題意，且當(dāng)時，是單調(diào)遞減函數(shù)，故，即是方程的兩個根，即，，由于且，故解得.

（3）由于函數(shù)在區(qū)間上的值域為，即，，所以同號.當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，即是方程的兩個根，或是方程的兩個根，即①，或②.由①解得，由②解得，所以.當(dāng)，令，得，且為單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)，令，得，且為單調(diào)遞減函數(shù).所以在區(qū)間上，當(dāng)時，和各有解，也即存在實數(shù)，使得集合恰含有個元素.