Question

【題目】已知圓，圓心為，定點， 為圓上一點，線段上一點滿足，直線上一點，滿足．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）為坐標原點， 是以為直徑的圓，直線與相切，并與軌跡交于不同的兩點．當且滿足時，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意可得為線段中點， 為線段的中垂線，則， 的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，據此可求得點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）直線與圓相切，則，聯立直線方程與橢圓方程可得.滿足題意時，則，設， ，由韋達定理結合弦長公式可得，則△ABO的面積，換元令，結合二次函數的性質可知，結合反比例函數的性質可得面積的取值范圍為.

試題解析：

（Ⅰ），∴為線段中點

∵， ∴為線段的中垂線

∴

∵

∴由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，

設橢圓的標準方程為，

則， ，

∴，

∴點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）∵圓與直線相切，

∴，即，

由，消去.

∵直線與橢圓交于兩個不同點，

∴，

將代入上式，可得，

設， ，

則， ，

∴ ，

∴

∴ ，

∵，解得.滿足.

又，

設，則.

∴ ，

∴

故面積的取值范圍為.