【題目】如圖,底面是等腰梯形,,點為的中點,以為邊作正方形,且平面平面.
(1)證明:平面平面.
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)先證明四邊形是菱形,進(jìn)而可知,然后可得到平面,即可證明平面平面;
(2)記AC,BE的交點為O,再取FG的中點P.以O為坐標(biāo)原點,以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,進(jìn)而可求出二面角的正弦值.
(1)證明:因為點為的中點,,所以,
因為,所以,所以四邊形是平行四邊形,
因為,所以平行四邊形是菱形,所以,
因為平面平面,且平面平面,所以平面.
因為平面,所以平面平面.
(2)記AC,BE的交點為O,再取FG的中點P.由題意可知AC,BE,OP兩兩垂直,故以O為坐標(biāo)原點,以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因為底面ABCD是等腰梯形,,所以四邊形ABCE是菱形,且,
所以,
則,設(shè)平面ABF的法向量為,
則,不妨取,則,
設(shè)平面DBF的法向量為,
則,不妨取,則,
故.
記二面角的大小為,故.
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【題目】設(shè)函數(shù),其中a為常數(shù):e≈2.71828為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求曲線y=f(x)在x=0處的切線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求a的值;
(2)若x>0,不等式恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),
(1)求的極值;
(2)若時,與的單調(diào)性相同,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時,函數(shù),有最小值,記的最小值為,證明:.
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【題目】設(shè)命題函數(shù)的值域為;命題,不等式恒成立,如果命題“”為真命題,且“”為假命題,求實數(shù)的取值范圍。
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【題目】如圖,在直三棱柱中,,且,點M在棱上,點N是BC的中點,且滿足.
(1)證明:平面;
(2)若M為的中點,求二面角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(3)對任意,恒有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的焦距為4,點P(2,3)在橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點P引圓的兩條切線PA,PB,切線PA,PB與橢圓C的另一個交點分別為A,B,試問直線AB的斜率是否為定值?若是,求出其定值,若不是,請說明理由.
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【題目】如圖所示,沿河有、兩城鎮(zhèn),它們相距20千米,以前,兩城鎮(zhèn)的污水直接排入河里,現(xiàn)為保護(hù)環(huán)境,污水需經(jīng)處理才能排放,兩城鎮(zhèn)可以單獨建污水處理廠,或者聯(lián)合建污水處理廠(在兩城鎮(zhèn)之間或其中一城鎮(zhèn)建廠,用管道將污水從各城鎮(zhèn)向污水處理廠輸送),依據(jù)經(jīng)驗公式,建廠的費用為(萬元),表示污水流量,鋪設(shè)管道的費用(包括管道費)(萬元),表示輸送污水管道的長度(千米).已知城鎮(zhèn)和城鎮(zhèn)的污水流量分別為,,、兩城鎮(zhèn)連接污水處理廠的管道總長為20千米;假定:經(jīng)管道運輸?shù)奈鬯髁坎话l(fā)生改變,污水經(jīng)處理后直接排入河中;請解答下列問題:
(1)若在城鎮(zhèn)和城鎮(zhèn)單獨建廠,共需多少總費用?
(2)考慮聯(lián)合建廠可能節(jié)約總投資,設(shè)城鎮(zhèn)到擬建廠的距離為千米,求聯(lián)合建廠的總費用與的函數(shù)關(guān)系式,并求的取值范圍.
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【題目】某車間有50名工人,要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù),每件產(chǎn)品由3個A 型零件和1個B 型零件配套組成.每個工人每小時能加工5個A 型零件或者3個B 型零件,現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時工作(分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整),每組加工同一中型號的零件.設(shè)加工A 型零件的工人人數(shù)為x名(x∈N*)
(1)設(shè)完成A 型零件加工所需時間為小時,寫出的解析式;
(2)為了在最短時間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù),x應(yīng)取何值?
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