Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線(xiàn)L：y=x²，實(shí)數(shù)p，q滿(mǎn)足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}.
（1）過(guò)點(diǎn)A（p₀，p₀）（p₀≠0）作L的切線(xiàn)教y軸于點(diǎn)B。證明：對(duì)線(xiàn)段AB上任一點(diǎn)Q（p，q）有φ（p，q）=；
（2）設(shè)M（a，b）是定點(diǎn)，其中a，b滿(mǎn)足a²-4b>0，a≠0。過(guò)M（a，b）作L的兩條切線(xiàn)l₁，l₂，切點(diǎn)分別為E（p₁，p₁²），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂與y軸分別交與F，F(xiàn)'。線(xiàn)段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X。證明：M（a，b）∈X|P₁|＞|P₂|φ（a，b）=；
（3）設(shè)D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}，當(dāng)點(diǎn)（p，q）取遍D時(shí)，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）。

Answer 1

解：（1）
直線(xiàn)AB方程為，即
∴
方程的判別式
兩根或
∵
∴
又
∴
得
∴。
（2）由知點(diǎn)在拋物線(xiàn)L的下方
①當(dāng)時(shí)，作圖可知，若，則，得
若，顯然有點(diǎn)
∴
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限，作圖可知，若，則，且
若，顯然有點(diǎn)
∴
根據(jù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)時(shí)，
綜上所述
由（1）知點(diǎn)M在直線(xiàn)EF上，方程的兩根或
同理點(diǎn)M在直線(xiàn)上，方程的兩根或
若，則不比，，小
∴
又
∴
又由（1）知
∴
綜合（*）式，得證。
（3）聯(lián)立，得交點(diǎn)，可知
過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)L的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為，則
得，解得
又，即
∴
設(shè)
∴
∵
又
∴
∵
∴
∴。