Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣a（x+1）（a≠0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）＞a2﹣a，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣a，

若a＜0，則f′（x）＞0，f（x）在R遞增，

若a＞0，令f′（x）＞0，解得；x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，

∴f（x）在（﹣∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增

（2）解：若a＞0，只需f（lna）＞a2﹣a，即﹣alna＞a2﹣a，

即lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，

a＞0時，g（a）遞增，又g（1）=0，則0＜a＜1；

若a＜0，則f（ln（﹣a））=﹣aln（﹣a）﹣2a，

f（ln（﹣a））﹣（a2﹣a）=﹣aln（﹣a）﹣a2﹣a=﹣a[ln（﹣a）+a+1]

∵ln（﹣a）+a+1≤0，∴﹣a[ln（﹣a）+a+1]≤0，

則f[ln（﹣a）]≤a2﹣a，不合題意，

綜上，a的范圍是（0，1）

【解析】（Ⅰ）求導函數(shù)，根據(jù)導導函數(shù)和0的關系由此可得f（x）的單調性；（Ⅱ）需要分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調求出函數(shù)的最值，即可求出a的范圍．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．