Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B是正方形，AC丄側(cè)面AA1B1B，AC=AB，點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:C1A∥平面EBA1；

(Ⅱ)若EF丄BC1，垂足為F，求二面角B—AF—A1的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意先證得EO//AC1，即可由線(xiàn)面平行的判定定理得出C1A∥平面EBA1；

(Ⅱ) 由已知AC丄底面AA1B1B，得A1C1丄底面AA1B1B，得C1A⊥AA1，C1A1⊥A1B1，又AA1⊥A1B1，故AA1，A1B1，A1C1兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面A1AF的法向量，平面的一個(gè)法向量設(shè)二面角B—AF—A1的平面角為θ，則即得解.

試題解析：

(Ⅰ)如圖，連結(jié)， 交于，連結(jié)，由是正方形，易得O為AB1的中點(diǎn)，從而OE為的中位線(xiàn)，所以EO//AC1， 因?yàn)镋O面EBA，C1A面EBA1，所以C1A//平面EBA1

(Ⅱ)由已知AC丄底面AA1B1B，得A1C1丄底面AA1B1B，

得C1A⊥AA1，C1A1⊥A1B1，又AA1⊥A1B1，故AA1，A1B1，A1C1兩兩垂直，

如圖，分別以AA1，A1B1，A1C1所在直線(xiàn)為x，y，z軸，A1為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AA1=2，則A1 (0,0,0) ,A(2,0,0)，C1(0，0，2),E(0,1,1)，B(2,2,0),

則， ， ，

設(shè)，則由，

得，即得

于是，所以

又,所以，解得，

所以，

設(shè)平面A1AF的法向量是，則即

令，則，

又平面的一個(gè)法向量為，則即

令，得

設(shè)二面角B—AF—A1的平面角為θ，則

由，面面，可知為銳角，

即二面角B—AF—A1的余弦值為.