【題目】如圖,在四棱錐中,
是邊長為4的正方形,
平面
,
分別為
的中點(diǎn).
(1)證明:平面
.
(2)若,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)記的中點(diǎn)為
,連接
,
,通過證明
,且
推出四邊形
為平行四邊形,則
,由線線平行推出線面平行;(2)以
為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面
、平面
的法向量,代入
即可求得二面角的余弦值從而求正弦值.
(1)證明:記的中點(diǎn)為
,連接
,
.
因?yàn)?/span>分別為
的中點(diǎn),
則,且
.
因?yàn)?/span>,且
,
所以,且
,
所以四邊形為平行四邊形,
則.
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)以為原點(diǎn),分別以
,
,
為
軸、
軸、
軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,
則,
,
,
,
設(shè)平面的法向量
,
則
令,則
.
設(shè)平面的法向量為
,
則
令,則
.
,
設(shè)二面角為
,則
,
即二面角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知為拋物線
上一點(diǎn),斜率分別為
,
的直線PA,PB分別交拋物線于點(diǎn)A,B(不與點(diǎn)P重合).
(1)證明:直線AB的斜率為定值;
(2)若△ABP的內(nèi)切圓半徑為.
(i)求△ABP的周長(用k表示);
(ii)求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓
的右焦點(diǎn)為
,離心率為
,過點(diǎn)
的直線
與
相交于
兩點(diǎn),點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn).
(1)當(dāng)的傾斜角為
時,求直線
的方程;
(2)試探究在軸上是否存在定點(diǎn)
,使得
為定值?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別為橢圓
的左、右焦點(diǎn),
為該橢圓的一條垂直于
軸的動弦,直線
與
軸交于點(diǎn)
,直線
與直線
的交點(diǎn)為
.
(1)證明:點(diǎn)恒在橢圓
上.
(2)設(shè)直線與橢圓
只有一個公共點(diǎn)
,直線
與直線
相交于點(diǎn)
,在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)
,使得
恒成立?若存在,求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)f(x)=x+ax2+blnx,曲線y=f(x)過P(1,0),且在P點(diǎn)處的切斜線率為2.
(I)求a,b的值;
(II)證明:f(x)≤2x-2。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F為拋物線的焦點(diǎn),過F的動直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn).當(dāng)直線與x軸垂直時,
.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線AB與拋物線的準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)M,在拋物線C上是否存在點(diǎn)P,使得直線PA,PM,PB的斜率成等差數(shù)列?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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