Question

【題目】設(shè)函數(shù)（）的反函數(shù)為，.

（1）求；

（2）若函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）.

【解析】

（1）化指數(shù)式為對(duì)數(shù)式可得x＝log4（y+1），把x，y互換即可得到f﹣1（x）；

（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x），換元后利用函數(shù)單調(diào)性求值域，即可求得使函數(shù)h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x）的圖象與直線y＝a有公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（1）由y＝f（x）＝4x﹣1（x≥0），

得4x＝y+1，

∴x＝log4（y+1），

∴f﹣1（x）＝log4（x+1）（x≥0）；

（2）h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x）＝2log4（3x+1）﹣log4（x+1）

．

令F（x），

∵x≥0，∴t＝x+1≥1，

則F（x），

化為G（t）＝9t在[1，+∞）上為增函數(shù)，

則G（t）min＝G（1）＝1．

∴若函數(shù)h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x）的圖象與直線y＝a有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥0．