【題目】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，．

（I）求證：；

（II）求多面體的體積.

【答案】（I）見解析；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，可得∥，從而可得∥平面，再證明∥面A1C1C，利用面面平行的判定，可得平面∥平面，從而可得AB1∥面A1C1C；
（Ⅱ）先證明CD⊥平面ADC1A1，于是多面體ABC-A1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱錐C-ADC1A1組成的，即可得出結(jié)論．

試題解析：

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連，

∥

∥，∥

四邊形是平行四邊形

∥，∥

又平面，平面

∥平面

在正方形中，∥，∥，

四邊形為平行四邊形

∥

又平面，平面

∥平面

，平面∥平面

又平面

∥平面.

（Ⅱ）在正方形中，，又是等邊三角形，所以，

所以

于是

又，平面，

又，平面

于是多面體是由直三棱柱和四棱錐組成的.

又直三棱柱的體積為，

四棱錐的體積為，

故多面體的體積為.

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