【題目】已知函數(shù)f(x)=a(x2﹣1)﹣lnx.
(1)若y=f(x)在x=2處的切線與y垂直,求a的值;
(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)f(x)的定義域為(0,+∞),令f'(2)=0,解得a;
(2),對a分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.
(1)∵f(x)的定義域為(0,+∞),,
∴f'(2)=0,即.
(2)∵,
①當(dāng)a≤0時,f'(x)<0,∴f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x>1時,f(x)<f(1)=0矛盾.
②當(dāng)a>0時,,
令f'(x)>0,得;f'(x)<0,得
.
(i)當(dāng),即
時,
時,f'(x)<0,即f(x)遞減,
∴f(x)<f(1)=0矛盾.
(ii)當(dāng),即
時,x∈[1,+∞)時,f'(x)>0,即f(x)遞增,
∴f(x)≥f(1)=0滿足題意.
綜上:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為
且橢圓上存在一點
,滿足
.
(1)求橢圓的標(biāo)準方程;
(2)已知分別是橢圓
的左、右頂點,過
的直線交橢圓
于
兩點,記直線
的交點為
,是否存在一條定直線
,使點
恒在直線
上?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,設(shè)
為
:
上的動點,點
為
在
軸上的投影,動點
滿足
,點
的軌跡為曲線
.以坐標(biāo)原點為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
,點
,
為直線
上兩點.
(1)求的參數(shù)方程;
(2)是否存在,使得
的面積為8?若存在,有幾個這樣的點?若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在中,
,
的中點為
,點
在
的延長線上,且
.固定邊
,在平面內(nèi)移動頂點
,使得圓
分別與邊
,
的延長線相切,并始終與
的延長線相切于點
,記頂點
的軌跡為曲線
.以
所在直線為
軸,
為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,如圖②所示.
(1)求曲線的方程;
(2)過點的直線
與曲線
交于不同的兩點
,
,直線
,
分別交曲線
于點
,
,設(shè)
,
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是周期為4的奇函數(shù),且當(dāng)
時,
,方程
在區(qū)間
內(nèi)有唯一解
,則方程
在區(qū)間
上所有解的和為( )
A. B. 036162C. 3053234D. 3055252
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由無理數(shù)論引發(fā)的數(shù)字危機一直延續(xù)到19世紀,直到1872年,德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割),并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機,所謂戴德金分割,是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集
與
,且滿足
,
,
中的每一個元素都小于
中的每一個元素,則稱
為戴德金分割.試判斷,對于任一戴德金分割
,下列選項中,可能成立的是____.
①沒有最大元素,
有一個最小元素;②
沒有最大元素,
也沒有最小元素;
③有一個最大元素,
有一個最小元素;④
有一個最大元素,
沒有最小元素.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校要通過選拔賽選取一名同學(xué)參加市級乒乓球單打比賽,選拔賽采取淘汰制,敗者直接出局。現(xiàn)有兩種賽制方案:三局兩勝制和五局三勝制。問兩選手對決時,選擇何種賽制更有利于選拔出實力最強的選手,并說明理由。(設(shè)各局勝負相互獨立,各選手水平互不相同。)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率
,一條準線方程為
⑴求橢圓的方程;
⑵設(shè)為橢圓
上的兩個動點,
為坐標(biāo)原點,且
.
①當(dāng)直線的傾斜角為
時,求
的面積;
②是否存在以原點為圓心的定圓,使得該定圓始終與直線
相切?若存在,請求出該定圓方程;若不存在,請說明理由.
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