Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)，且時(shí)，證明：.（常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

1，等價(jià)于方程在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．

即在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．令，利用函數(shù)圖象即可求解．

2要證明：只需證明，即證明要證明，即證明利用導(dǎo)數(shù)即可證明．

Ⅰ，，

，

函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，

方程在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．

在恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．

令，則．

可得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．

函數(shù)草圖如下，

可得，

．

實(shí)數(shù)a的取值范圍為：

2要證明：證明．

證明，即證明．

令則，

時(shí)，，函數(shù)遞增，時(shí)，，遞減．

，即原不等式成立．

要證明，即證明．

，

故只需證明即可．

令，則．

時(shí)，，函數(shù)遞減，時(shí)，，函數(shù)遞增．

，

又，

故原不等式成立．

綜上，，