【題目】如圖所示的“8”字形曲線是由兩個關(guān)于軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形,其中上半個圓所在圓方程是
,雙曲線的左、右頂點
、
是該圓與
軸的交點,雙曲線與半圓相交于與
軸平行的直徑的兩端點.
(1)試求雙曲線的標準方程;
(2)記雙曲線的左、右焦點為、
,試在“8”字形曲線上求點
,使得
是直角.
【答案】(1)=1,(2)(
),(﹣
),(﹣
,﹣
),(
,﹣
).
【解析】
試題 由于上半個圓所在圓方程是,令
,求出
,得雙曲線的頂點,可知
,又雙曲線與半圓相交于與
軸平行的直徑的兩端點,令
,雙曲線過點
,滿足雙曲線方程,待定系數(shù)法求出雙曲線方程;第二步由于點
滿足
是直角,則點
在以
為圓心半徑為
的圓上,滿足
,把圓的方程與雙曲線方程聯(lián)立解出交點坐標,由于
與上下兩圓弧無交點,所以交點只有求出的四個 .
試題解析:(1)設(shè)雙曲線的方程為,在已知圓的方程中,令
,
得,即
,則雙曲線的左、右頂點為
、
,于是
,令
,可得
,解得
,即雙曲線過點
,則
所以
,
所以所求雙曲線方程為.
(2)由(1)得雙曲線的兩個焦點,
,當
時,設(shè)點
,
①若點在雙曲線上,得
,由
,有
則
,
由,解得
所以
②若點在上半圓上,則
,由
,得
,
由無解.
綜上,滿足條件的點有4個,分別為.
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【題目】已知橢圓的右頂點為
,上頂點為
,右焦點為
.連接
并延長與橢圓
相交于點
,且
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點的直線
與橢圓
相交于不同的兩點
,直線
分別與直線
相交于點
,點
.若
的面積是
的面積的2倍,求直線
的方程.
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【題目】已知點在雙曲線
(
,
)上,且雙曲線的一條漸近線的方程是
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過點且斜率為
的直線
與雙曲線
有兩個不同的交點,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線
交于
兩個不同的點,若以線段
為直徑的圓經(jīng)過坐標原點,求實數(shù)
的值.
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【題目】在直角坐標系中,傾斜角為
的直線
經(jīng)過坐標原點
,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以點
為極點,
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)求與
的極坐標方程;
(2)設(shè)與
的交點為
、
,
與
的交點為
、
,且
,求
值.
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【題目】在平面直角坐標系中,函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示,試做如下操作:把x軸上的區(qū)間
等分成n個小區(qū)間,在每一個小區(qū)間上作一個小矩形,使矩形的右端點落在函數(shù)
的圖像上.若用
表示第k個矩形的面積,
表示這n個叫矩形的面積總和.
(1)求的表達式;
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明,并求出
的表達式
(3)求的值,并說明
的幾何意義.
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【題目】已知拋物線的焦點為
,
為
軸上的點.
(1)過點作直線
與
相切,求切線
的方程;
(2)如果存在過點的直線
與拋物線交于
,
兩點,且直線
與
的傾斜角互補,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】在四棱錐中,底面
是邊長為2的正方形,
底面
,四棱錐
的體積
,M是
的中點.
(1)求異面直線與
所成角的余弦值;
(2)求點B到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為
,長軸長為
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程及離心率;
(Ⅱ)過點的直線
與橢圓
交于
,
兩點,若點
滿足
,求證:由點
構(gòu)成的曲線
關(guān)于直線
對稱.
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