Question

【題目】設(shè)拋物線(xiàn)的方程為，其中常數(shù)，F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).

（1）設(shè)A是點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；

（2）設(shè)，，是兩條互相垂直，且均經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A，B，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)C，D，若點(diǎn)G滿(mǎn)足，求點(diǎn)G的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）最大值為；（2）

【解析】

（1）求得A的坐標(biāo)，設(shè)出過(guò)A的直線(xiàn)為y＝k（x），k＝tanα，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用判別式為0，求得傾斜角，可得所求最大值；

（2）求得F（1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），設(shè)l1：y＝k（x﹣1），聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及兩直線(xiàn)垂直的條件：斜率之積為﹣1，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，以及消元，可得所求軌跡方程．

（1）A是點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，可得，

設(shè)過(guò)A的直線(xiàn)為，，

聯(lián)立拋物線(xiàn)方程可得，

由直線(xiàn)和拋物線(xiàn)相切可得，解得，

可取，可得切線(xiàn)的傾斜角為45°，

由拋物線(xiàn)的定義可得，而的最小值為45°，

的最大值為；

（2）由，可得，設(shè)，，，，，

設(shè)，聯(lián)立拋物線(xiàn)，可得，

即有，，

由兩直線(xiàn)垂直的條件，可將k換為，可得，，

點(diǎn)G滿(mǎn)足，可得，

即為，，

可得，則G的軌跡方程為.