Question

【題目】對于函數,若存在實數,使=成立,則稱為的不動點.

⑴當時,求的不動點;

(2)當時,函數在內有兩個不同的不動點,求實數的取值范圍;

(3)若對于任意實數,函數恒有兩個不相同的不動點,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)的不動點為-1,2；（2）-4<b<4或4<b<6；（3）0<a<2.

【解析】試題分析：本題為新定義信息題，把a=2,b=-2代入后得到函數f(x)的解析式，假設存在不動點，根據不動點定義，滿足，解方程求出不動點；當時,函數在內有兩個不同的不動點，說明方程在區(qū)間（-2，3）內有兩個不等式實數根；同理解決第三步.

試題解析：

(1)當a=2,b=-2時,f(x)=2x2-x-4

∴ 由f(x)=x得x2-x-2=0, ∴ x=-1或x=2.

∴ f(x)的不動點為-1,2.

(2) 當a=2時,f(x)=2x2+(b+1)x+b-2,

由題意得f(x)=x在(-2,3)內有兩個不同的不動點,

即方程 2x2+bx+b-2=0 在(-2,3)內的兩個不相等的實數根.

設 g(x)=2x2+bx+b-2,

∴ 只須滿足 ∴

∴ -4<b<4或4<b<6

(3)由題意得:對于任意實數b,方程 ax2+bx+b-2=0總有兩個不相等的實數解.

∴ ∴ b2-4ab+8a>0對b∈R恒成立.

∴16a2-32a<0 ∴ 0<a<2.