【題目】設是各項均為非零實數的數列
的前n項和,給出如下兩個命題上:命題p:
是等差數列;命題q:等式
對任意
恒成立,其中k,b是常數.
(1)若p是q的充分條件,求k,b的值;
(2)對于(1)中的k與b,問p是否為q的必要條件,請說明理由;
(3)若p為真命題,對于給定的正整數n和正數M,數列
滿足條件
,試求
的最大值.
【答案】(1),
,(2)必要條件,理由見解析,(3)
【解析】
(1)當是等差數列時,利用裂項求和的方法求得等式
左邊表達式的和,化簡得
對于
恒成立,由此求得
.
(2)當時,等式為
.利用退
作差法,證得數列
為等差數列,由此證得
是
的必要條件.
(3)利用三角換元的方法,將表示三角函數的形式,結合柯西不等式和不等式的性質,求得
的最大值.
(1)設的公差為d,則原等式可化為
,
所以,
即對于
恒成立,
所以,
.
(2)當,
時,假設p是q的必要條件,即
“若①對于任意的
恒成立,則
為等差數列”.
當時,
顯然成立.
當時,若
②,
由①﹣②得,,
即③.
當時,
,即
、
、
成等差數列,
當時,
④,
即.所以
為等差數列,即p是q的必要條件.
(3)由,可設
,所以
.
設的公差為d,則
,
所以,
所以,
,
所以的最大值為
.
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【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現稱為分形,一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝木的融合,數學與藝術審美的統(tǒng)一,而且還有其深刻的科學方法論意義.如圖,由波蘭數學家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于-種分形,具體作法是取一個實心三角形,沿三角形的三邊中點連線,將它分成4個小三角形,去掉中間的那一個小三角形后,對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形.
若在圖④中隨機選。c,則此點取自陰影部分的概率為( )
A.B.
C.
D.
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【題目】某農場規(guī)劃將果樹種在正方形的場地內.為了保護果樹不被風吹,決定在果樹的周圍種松樹. 在下圖里,你可以看到規(guī)劃種植果樹的列數(n),果樹數量及松樹數量的規(guī)律:
(1)按此規(guī)律,n = 5時果樹數量及松樹數量分別為多少;并寫出果樹數量,及松樹數量
關于n的表達式
(2)定義:
為
增加的速度;現農場想擴大種植面積,問:哪種樹增加的速度會更快?并說明理由
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【題目】定義:對于數列,如果存在常數
,使對任意正整數
,總有
成立,那么我們稱數列
為“
﹣擺動數列”.
(1)設,
,
,判斷數列
、
是否為“
﹣擺動數列”,并說明理由;
(2)已知“﹣擺動數列”
滿足:
,
.求常數
的值;
(3)設,
,且數列
的前
項和為
.求證:數列
是“
﹣擺動數列”,并求出常數
的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的離心率為
,焦距為
,斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A、B.
(1)求橢圓M的方程;
(2)設P(﹣2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D,若C、D與點共線,求斜率k的值.
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【題目】某網購平臺為了解某市居民在該平臺的消費情況,從該市使用其平臺且每周平均消費額超過100元的人員中隨機抽取了100名,并繪制如圖所示頻率分布直方圖,已知中間三組的人數可構成等差數列.
(1)求的值;
(2)分析人員對100名調查對象的性別進行統(tǒng)計發(fā)現,消費金額不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根據統(tǒng)計數據完成下列列聯表,并判斷是否有
的把握認為消費金額與性別有關?
(3)分析人員對抽取對象每周的消費金額與年齡
進一步分析,發(fā)現他們線性相關,得到回歸方程
.已知100名使用者的平均年齡為38歲,試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費金額為多少.(同一組數據用該區(qū)間的中點值代替)
列聯表
男性 | 女性 | 合計 | |
消費金額 | |||
消費金額 | |||
合計 |
臨界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
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【題目】“二萬五千里長征”是1934年10月到1936年10月中國工農紅軍進行的一次戰(zhàn)略轉移,是人類歷史上的偉大奇跡,向世界展示了中國工農紅軍的堅強意志,在期間發(fā)生了許多可歌可泣的英雄故事.在中國共產黨建黨周年之際,某中學組織了“長征英雄事跡我來講”活動,已知該中學共有高中生
名,用分層抽樣的方法從該校高中學生中抽取一個容量為
的樣本參加活動,其中高三年級抽了
人,高二年級抽了
人,則該校高一年級學生人數為( )
A.B.
C.
D.
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【題目】若給定橢圓和點
,則稱直線
為橢圓C的“伴隨直線”.
(1)若在橢圓C上,判斷橢圓C與它的“伴隨直線”的位置關系(當直線與橢圓的交點個數為0個、1個、2個時,分別稱直線與橢圓相離、相切、相交),并說明理由;
(2)命題:“若點在橢圓C的外部,則直線
與橢圓C必相交.”寫出這個命題的逆命題,判斷此逆命題的真假,說明理由;
(3)若在橢圓C的內部,過N點任意作一條直線,交橢圓C于A、B,交
于M點(異于A、B),設
,問
是否為定值?說明理由.
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