Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求證：曲線與在處的切線重合；

（Ⅱ）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）分別對兩函數求導，求出兩函數在處切線的斜率，再利用點斜式求出切線的直線方程，就可以證明曲線與在處的切線重合；

（Ⅱ）方法1：構造 對求導得到，對進行分類討論，利用函數的單調性，綜合分析，最后求出實數的取值范圍。

方法2：可得（），構造新函數

設，求導，對進行分類討論，利用函數的單調性，綜合分析，最后求出實數的取值范圍。

證明:(Ⅰ)

在處的切線方程為

在處的切線方程為

所以切線重合.

（Ⅱ）（方法1）：令

①當時，，當且僅當時取“”，

在遞減，，不恒成立.

②當時，，

（i）當時，時，，遞減，

，在遞減，

，不恒成立.

（ii）當時，，在遞增，

，在遞增，

，恒成立.

綜上，.

（Ⅱ）（方法2）：

，

（），

設，

，，在遞減， ，與已知矛盾

，

①，， 在遞增，滿足題意

②當時， ，，在遞減，，

不滿足題意

綜上，