Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ． 已知a1=1， =an+1﹣ n2﹣n﹣ ，n∈N* ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設數列{bn}滿足an﹣an﹣1=bna ，求數列{bn}的n前項和Tn；
（3）是否存在實數λ，使得不等式λa ﹣ +a + ≥0恒成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，n∈N*．

∴ ①

∴當n≥2時， ②

由①﹣②，得

2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1）．

∵2an=2Sn﹣2Sn﹣1

∴2an=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），

∴ ，

∴數列 是以首項為 ，公差為1的等差數列．

∴ ，

∴ ，當n=1時，上式顯然成立．

∴

（2）an﹣an﹣1=bna bn= = = ．

∴Tn= + + +…+ ．①

Tn= + + +…+ ．②

由①﹣②，得

Tn= +2（ + + +…+ ）﹣ ．

= +2 ﹣ ．

∴Tn= ﹣ ，n∈N+

（3）λa ﹣ +a + ≥0λ（2n﹣ ）+2n+ ≥0，（n=2，4，6，8，10…）λ（2n﹣ ）+（2n﹣ ）2+2≥0，

令t=2n﹣ ，則t≥ ，

原不等式λt+t2+2≤0≥﹣（t+ ）．

∵t+ 在（ ，+∞）上單調遞增，

∴t+ ≥ + = ．

∴λ≥﹣

【解析】（1）需要分類討論：n=1和n≥2兩種情況下的通項公式．當n≥2時，根據已知條件可以推知2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1）．2an=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1），由著兩個式子可以得到數列 是以首項為 ，公差為1的等差數列．由此寫出通項公式即可；（2）由an﹣an﹣1=bna 可得bn= = = ．再利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出；（3）將已知不等式變形為λ（2n﹣ ）+（2n﹣ ）2+2≥0，然后結合函數的單調性來求λ的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．