Question

【題目】（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）證明： 在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值可得切線斜率，由點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)．由 ，得 ．根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得存在唯一的， 使得 ， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．可證明，從而可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，

所以 ．

因?yàn)?/span> ， ，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅱ）．

由 ，得 ．

因?yàn)?/span> ，所以．

當(dāng) 時(shí)， 由 ， 得 ．

所以 存在唯一的， 使得 ．

與在區(qū)間上的情況如下：

	↗	極大值	↘

所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

因?yàn)?/span> ，

且 ，

所以 在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.