(本小題共14分)已知是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合:對任意,①方程有實數(shù)根;②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.
(Ⅰ)判斷函數(shù)是否是集合中的元素,并說明理由;
(Ⅱ)集合中的元素具有下面的性質(zhì):若的定義域為,則對于任意,都存在,使得等式成立.試用這一性質(zhì)證明:方程有且只有一個實數(shù)根;
(Ⅲ)對任意,且,求證:對于定義域中任意的,,,當,且時,.
解:(Ⅰ)因為①當時,,
所以方程有實數(shù)根0;
②,
所以,滿足條件;
由①②,函數(shù)是集合中的元素. …………5分
(Ⅱ)假設(shè)方程存在兩個實數(shù)根,,
則,.
不妨設(shè),根據(jù)題意存在,
滿足.
因為,,且,所以.
與已知矛盾.又有實數(shù)根,
所以方程有且只有一個實數(shù)根. …………10分
(Ⅲ)當時,結(jié)論顯然成立;
當,不妨設(shè).
因為,且所以為增函數(shù),那么.
又因為,所以函數(shù)為減函數(shù),
所以.
所以,即.
因為,所以, (1)
又因為,所以, (2)
(1)(2)得即.
所以.
綜上,對于任意符合條件的,總有成立.……14分
【解析】本題是一道以集合為背景的創(chuàng)新題,考查函數(shù)的性質(zhì)和不等式的證明。考查學(xué)生的理解能力和分析能力。讀懂題意是解題的前提,解題是注意分類討論思想的應(yīng)用。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年北京卷文)(本小題共14分)
已知的頂點在橢圓上,在直線上,且.
(Ⅰ)當邊通過坐標原點時,求的長及的面積;
(Ⅱ)當,且斜邊的長最大時,求所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題共14分)
已知雙曲線的離心率為,右準線方程為
(Ⅰ)求雙曲線的方程;(Ⅱ)設(shè)直線是圓上動點處的切線,與雙曲線交于不同的兩點,證明的大小為定值..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年北京市宣武區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)(理) 題型:解答題
(本小題共14分)
已知,動點到定點的距離比到定直線的距離小.
(I)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)是軌跡上異于原點的兩個不同點,,求面積的最小值;
(Ⅲ)在軌跡上是否存在兩點關(guān)于直線對稱?若存在,求出直線 的方程,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年普通高中招生考試北京市高考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
((本小題共14分)
已知橢圓.過點(m,0)作圓的切線l交橢圓G于A,B兩點.
(I)求橢圓G的焦點坐標和離心率;
(II)將表示為m的函數(shù),并求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京市豐臺區(qū)高三下學(xué)期統(tǒng)一練習(xí)數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本小題共14分)
已知點,,動點P滿足,記動點P的軌跡為W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)直線與曲線W交于不同的兩點C,D,若存在點,使得成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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