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【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

【答案】(1)答案不唯一，見解析；(2)

【解析】

（1）先由題意得到定義域，對函數求導，分別討論和兩種情況，即可得出結果；

（2）因為，由（1）得到函數在上單調遞增，不妨設，則可化為，令，則為上的減函數，對求導，根據函數單調性，即可得出結果.

（1）∵依題意可知：函數的定義域為，

∴，

當時，在恒成立，所以在上單調遞增.

當時，由得；由得；

綜上可得當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減；在上單調遞增.

（2）因為，由（1）知，函數在上單調遞增，

不妨設，則，

可化為，

設，則，

所以為上的減函數，

即在上恒成立，等價于在上恒成立，

設，所以，

因，所以，所以函數在上是增函數，

所以（當且僅當時等號成立）

所以．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐，側棱，底面三角形為正三角形，邊長為，頂點在平面上的射影為，有，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知等差數列的前項和為，并且，，數列滿足：，，記數列的前項和為．

（1）求數列的通項公式及前項和公式；

（2）求數列的通項公式及前項和公式；

（3）記集合，若的子集個數為16，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了配合今年上海迪斯尼游園工作，某單位設計了統(tǒng)計人數的數學模型：以表示第個時刻進入園區(qū)的人數；以表示第個時刻離開園區(qū)的人數.設定以分鐘為一個計算單位，上午點分作為第個計算人數單位，即；點分作為第個計算單位，即；依次類推，把一天內從上午點到晚上點分分成個計算單位（最后結果四舍五入，精確到整數）.

（1）試計算當天點至點這一小時內，進入園區(qū)的游客人數、離開園區(qū)的游客人數各為多少？

（2）假設當日園區(qū)游客總人數達到或超過萬時，園區(qū)將采取限流措施.該單位借助該數學模型知曉當天點（即）時，園區(qū)總人數會達到最高，請問當日是否要采取限流措施？說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點，是坐標軸上兩點，動點滿足直線與的斜率之積為（其中為常數，且）.記的軌跡為曲線.

（1）求的方程，并說明是什么曲線；

（2）過點斜率為的直線與曲線交于點，點在曲線上，且，若，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線、與曲線分別相交于點、和、，我們將四邊形稱為曲線的內接四邊形．

（1）若直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，求的值；

（2）若直線，與圓分別交于點、和、，求證：四邊形為正方形；

（3）求證：橢圓的內接正方形有且只有一個，并求該內接正方形的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的焦距為，且右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形.若直線l與橢圓C交于、，且在橢圓C上存在點M，使得：（其中O為坐標原點），則稱直線l具有性質H.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l垂直于x軸，且具有性質H，求直線l的方程；

（3）求證：在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R，使得直線、、都具有性質H.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點，（為正整數）都在函數的圖象上.

（1）若數列是等差數列，證明：數列是等比數列；

（2）設，過點的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為，試求最小的實數，使對一切正整數恒成立；

（3）對（2）中的數列，對每個正整數，在與之間插入個3，得到一個新的數列，設是數列的前項和，試探究2016是否是數列中的某一項，寫出你探究得到的結論并給出證明.

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【題目】李克強總理在很多重大場合都提出“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”．某創(chuàng)客，白手起家，2015年一月初向銀行貸款十萬元做創(chuàng)業(yè)資金，每月獲得的利潤是該月初投入資金的．每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額（包括本金和利潤）的，每月的生活費等開支為3000元，余款全部投入創(chuàng)業(yè)再經營．如此每月循環(huán)繼續(xù)．

（1）問到2015年年底（按照12個月計算），該創(chuàng)客有余款多少元？（結果保留至整數元）

（2）如果銀行貸款的年利率為，問該創(chuàng)客一年（12個月）能否還清銀行貸款？

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