Question

【題目】已知函數．

（1）若，其中為自然對數的底數，求函數的單調區(qū)間；

（2）若函數既有極大值，又有極小值，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）且且．

【解析】試題分析：把值帶入后對求導，分子提取公因式是重要的一步，由于的正負不清楚，所以設為二次求導，發(fā)現的單調性及零點，最后根據的符號說明單調性；對求導，研究因式，得，這是非常智慧的一步變形．針對函數求導研究單調性求出極值，模擬圖象得出解答.

試題解析：（1），

由知，

設，

則， ，

∴，∴在上單調遞增，觀察知，

∴當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增．

（2）， ，

由，得．

設，則，由，得．

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增．

∴．

又時， 時，

∴，這是必要條件．

檢驗：當時， 既無極大值，也無極小值；當時，滿足題意；當時， 只有一個極值點，舍去；當時，則，則．

綜上，符合題意的的范圍為且且．